定義

エージェントのグループがある目的関数$f$を最適化すると仮定する． 各エージェント$i$は，時刻$t$における各自の位置 $\mbox{\boldmath$x$}_i^t$，移動速度 $\mbox{\boldmath$v$}_i^t$，および今まで経験した目的関数の最良値$pbest_i$とそのときの位置 $\mbox{\boldmath$x$}^*_i$を記憶している．

$$pbest_i = \min_{\tau=0,1,\cdots,t} f(\mbox{\boldmath$x$}_i^\tau)$$ (3)

$$\mbox{\boldmath$x$}_i^* = \mbox{arg}\min_{\tau=0,1,\cdots,t}f(\mbox{\boldmath$x$}_i^\tau)$$ (4)

さらに，各エージェントは，グループ中のエージェントが経験した目的関数の最良値$gbest$とそのときの位置 $\mbox{\boldmath$x$}_G^*$の情報を共有する．

$$gbest = \min_i pbest_i$$ (5)

$$\mbox{\boldmath$x$}_G^* = \mbox{arg}\min_i f(\mbox{\boldmath$x$}_i^*)$$ (6)

このとき，時刻$t+1$におけるエージェントの移動速度は，以下のように求められる．

$$v_{ij}^{t+1} = w v_{ij}^t + c_1 rand (x^*_{ij}-x^t_{ij})$$ (7)

$$+ c_2 rand (x^*_{Gj}-x^t_{ij})$$

ただし，$w$は慣性重み(inertia weight)，$rand$は区間$[0,1]$の一様乱数であり，各成分毎に生成する． $c_1$は``cognitive''，$c_2$は``social''とよばれるパラメータであり，自己の最良位置およびグループの最良位置への探索に対する重み付けを表現している．

式(7)から，時刻$t+1$におけるエージェントの位置が以下のように求められる．

$$\mbox{\boldmath$x$}^{t+1}_i = \mbox{\boldmath$x$}^t_i + \mbox{\boldmath$v$}^{t+1}_i$$ (8)